循环神经网络(RNN)相关知识 rnn递归神经网络

RNN概述

循环神经网络(RNN)是用于处理序列数据的神经网络，该序列在时刻 t（从1 到 τ）包含向量 $x^{(t) }$x(t)。典型的网络结构如下图所示：

RNN每个时间步都需要将 x 值的输入序列映射到输出值 o 的对应序列。其中 o 是未归一化的对数概率，并且在损失函数 L 内部计算 $\hat y = softmax(x)$y^​=softmax(x)。损失函数 L 用于衡量每个 o 与相应的训练目标 y 的距离。

RNN输入到隐含单元的连接由权重矩阵 U 参数化，隐含单元与隐含单元连接由权重矩阵 W 参数化，隐含单元到输出节点的连接由权重矩阵 V 参数化。从上面的图中也可以看出，与CNN类似，在RNN中同样有参数共享的思想（共享了参数$W，U，V$W，U，V等）。这使得模型的泛化能力更强，因为模型不会依赖于特定位置上的输入$x$x。例如考虑这两句话：“I went to Nepal in 2009’’ 和 “In 2009, I went to Nepal.” ，他们表达的意思完全相同，但是时间2009出现在不同的地方，RNN的参数共享机制可以更有效的提取到这个时间信息。参数共享也允许模型泛化到没有见过的序列长度，并且训练模型所需的训练样本远远少于不带参数共享的模型。

当训练循环网络根据过去的信息去预测未来的信息时，网络通常要使用隐含状态 h (t) 来表示时刻 t 之前的序列信息：
$\begin{aligned} h^{(t)} &=g^{(t)}(x^{(t)},x^{(t-1)},x^{(t-2)},\dots,x^{(2)}, x^{(1)}) \\ & = f(h^{(t-1)}, x^{(t)} ; \theta) . \end{aligned}$h(t)​=g(t)(x(t),x(t−1),x(t−2),…,x(2),x(1))=f(h(t−1),x(t);θ).​
函数$g^{(t)}$g(t)将过去的序列$(x^{(t)},x^{(t-1)}, x^{(t-2)},\dots,x^{(2)}, x^{(1)})$(x(t),x(t−1),x(t−2),…,x(2),x(1))作为输入来生成当前的隐含状态$h(t)$h(t)。实际上，我们可以递归调用函数$f$f来完成隐含状态的计算。这么做主要有两个优点：

1. 无论序列的长度如何，模型始终具有相同的输入数据。因为它只关注给定输$x^{(t)}$x(t)后，从一种状态$h(t-1)$h(t−1)到另一种状态$h(t)$h(t)的转移， 而不是在可变长度的历史输入数据$x^{(t-1)},x^{(t-2)},\dots,x^{(2)}, x^{(1)}$x(t−1),x(t−2),…,x(2),x(1)上的操作。
2. 我们可以在每个时间步($t$t时刻)使用相同参数的状态转移函数$f$f。

在不同的NLP场景中，h(t) 需要保存的信息也不同。例如在词性标注任务中，h(t) 更多的是要保存前一个单词的信息；而在机器翻译任务中，则需要保存输入序列的所有信息。

前向传播公式

上面的图中没有指明**函数，假设使用$tanh$tanh作为**函数，并且假设输出值是离散的，例如用于预测类别。一种表示离散变量的方式是：把输出 o 作为离散变量每种可能值的非标准化对数概率。然后，我们可以应用 softmax 函数获得标准化后概率的输出向量$\hat y$y^​。

RNN从特定的初始状态 h (0) 开始前向传播。从 t = 1 到 t = τ 的每个时间步，我们应用以下更新方程：
$\begin{aligned} &\mathbf a^{(t)} = \mathbf b + \mathbf W \mathbf h^{(t-1)} + \mathbf U \mathbf x^{(t)} \\ &\mathbf h^{(t)} = \tanh(\mathbf a^{(t)}) \\ &\mathbf o^{(t)} = \mathbf c + \mathbf V \mathbf h^{(t)} \\ \end{aligned}$​a(t)=b+Wh(t−1)+Ux(t)h(t)=tanh(a(t))o(t)=c+Vh(t)​

$\hat {\mathbf y} ^{(t)} = softmax(\mathbf o^{(t)}) = \frac{e^{o^{(t)}}}{\sum_{t=1}^\tau e^{o^{(t)}}} \\$y^​(t)=softmax(o(t))=∑t=1τ​eo(t)eo(t)​

其中的参数的偏置向量 b 和 c 连同权重矩阵 U、V 和 W，分别对应于输入到隐藏单元、
隐藏单元到输出和隐藏单元到隐藏单元的连接。这个循环网络将一个输入序列映射到相同长度的输出序列。与 x 序列配对的 y 的总损失就是所有时间步的损失之和，例如定义损失L为所有时间步的负对数似然函数：
$\begin{aligned} &L(\{x^{(1)},\ldots,x^{(\tau)}\},\{y^{(1)},\ldots,y^{(\tau)}\}) \\ &= \sum_{t} L^{(t)} \\ &= -\sum_{t} \log P_{model}(y^{(t)}|\{x^{(1)},\ldots,x^{(\tau)}\}) \end{aligned}$​L({x(1),…,x(τ)},{y(1),…,y(τ)})=t∑​L(t)=−t∑​logPmodel​(y(t)∣{x(1),…,x(τ)})​
了解正向传播的计算内容之后，就可以讨论通过时间反向传播算法来更新网络参数了。

通过时间反向传播（BPTT）

回顾之前的计算图：

对于每一个节点 N，我们需要先 N 后面的节点的梯度，然后递归地计算梯度 $∇ _N L$∇N​L。我们从最后一个节点开始递归：
$\frac{\partial L}{\partial L^{(t)}} = 1$∂L(t)∂L​=1
观察正向传播的计算公式，不难发现 $L^{(t)}$L(t)是关于$\hat {\mathbf y} ^{(t)}$y^​(t)的函数，$\hat {\mathbf y} ^{(t)}$y^​(t)是$softmax$softmax的结果， 而$softmax$softmax是关于 $o^{(t)}$o(t)的函数。求$L$L对非标准化对数概率 $o^{(t)}$o(t)求偏导（相关求导过程可以参考Softmax求导），得到：
$\begin{aligned} (\nabla_{\mathbf o^{(t)}} L)_i &= \frac{\partial L}{\partial o_{i}^{(t)}}\\ &= \frac{\partial L}{\partial L^{(t)}} \frac{\partial L^{(t)}}{\partial \hat {\mathbf y} ^{(t)}_i} \frac{\partial \hat {\mathbf y} ^{(t)}_i}{\partial o_{i}^{(t)}} \\ &= \begin{cases} \hat {y}_i ^{(t)} - 1 , \qquad {y}_i ^{(t)} =label\\ \hat {y}_i ^{(t)} - 0, \qquad {y}_i ^{(t)} \ne label \end{cases} \end{aligned}$(∇o(t)​L)i​​=∂oi(t)​∂L​=∂L(t)∂L​∂y^​i(t)​∂L(t)​∂oi(t)​∂y^​i(t)​​={y^​i(t)​−1,yi(t)​=labely^​i(t)​−0,yi(t)​​=label​​
从序列的末尾开始，反向进行计算。在最后的时间步 τ，只有 o (τ) 依赖于h (τ) ，不存在h (τ+1)依赖于h (τ) ，因此这个梯度很简单。由$\mathbf o^{(t)} = \mathbf c + \mathbf V \mathbf h^{(t)}$o(t)=c+Vh(t)，可以知道：
$\nabla_{\mathbf h^{(\tau)}}L = \frac{\partial o^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}}\nabla_{\mathbf o^{(\tau)}} L = \mathbf V^T \nabla_{\mathbf o^{(\tau)}} L$∇h(τ)​L=∂h(τ)∂o(τ)​∇o(τ)​L=VT∇o(τ)​L
然后我们可以从时刻 t = τ − 1 到 t = 1 反向迭代，通过时间反向传播梯度。由下面的式子：
$\mathbf a^{(t)} = \mathbf b + \mathbf W \mathbf h^{(t-1)} + \mathbf U \mathbf x^{(t)} \\ \mathbf h^{(t)} = \tanh(\mathbf a^{(t)}) \\ \mathbf o^{(t)} = \mathbf c + \mathbf V \mathbf h^{(t)}$a(t)=b+Wh(t−1)+Ux(t)h(t)=tanh(a(t))o(t)=c+Vh(t)
不难发现当t < τ时， o (t) 和 h (t+1) 都依赖于h (t) 。因此，它的梯度由两个部分组成：
$\begin{array}{l} \nabla_{h^{(t)}} L=\left(\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(t+1)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(t)}}\right)^{\top}\left(\nabla_{\boldsymbol{h}^{(t+1)}} L\right)+\left(\frac{\partial \boldsymbol{o}^{(t)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(t)}}\right)^{\top}\left(\nabla_{\boldsymbol{o}^{(t)}} L\right) \\ =\boldsymbol{W}^{\top}\left(\nabla_{\boldsymbol{h}^{(t+1)}} L\right) \operatorname{diag}\left(1-\left(\boldsymbol{h}^{(t+1)}\right)^{2}\right)+\boldsymbol{V}^{\top}\left(\nabla_{\boldsymbol{o}^{(t)}} L\right) \end{array}$∇h(t)​L=(∂h(t)∂h(t+1)​)⊤(∇h(t+1)​L)+(∂h(t)∂o(t)​)⊤(∇o(t)​L)=W⊤(∇h(t+1)​L)diag(1−(h(t+1))2)+V⊤(∇o(t)​L)​
其中：
$\tanh'(x) = 1- (tanh(x))^2$tanh′(x)=1−(tanh(x))2

$\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{h}^{(t+1)}}{\partial\boldsymbol{h}^{(t)}} &= \frac{\partial \tanh(\mathbf b + \mathbf W \boldsymbol h^{(t)} + \mathbf U \mathbf x^{(t+1)} )}{\partial\boldsymbol{h}^{(t)}} \\ &= \mathbf W^T diag(1-(\boldsymbol h^{(t+1)})^2) \end{aligned}$∂h(t)∂h(t+1)​​=∂h(t)∂tanh(b+Wh(t)+Ux(t+1))​=WTdiag(1−(h(t+1))2)​

基于前面的步骤，接下来进行参数的跟新：
$\begin{aligned} \nabla_{c} L &=\sum_{t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{o}^{(t)}}{\partial \boldsymbol{c}}\right)^{\top} \nabla_{\boldsymbol{o}^{(t)}} L=\sum_{t} \nabla_{\boldsymbol{o}^{(t)}} L \\ \nabla_{\boldsymbol{b}} L &=\sum_{t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(t)}}{\partial \boldsymbol{b}^{(t)}}\right)^{\top} \nabla_{\boldsymbol{h}^{(t)}} L=\sum_{t} \operatorname{diag}\left(1-\left(\boldsymbol{h}^{(t)}\right)^{2}\right) \nabla_{\boldsymbol{h}^{(t)}} L \\ \nabla_{\boldsymbol{V}} L &=\sum_{t} \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial o_{i}^{(t)}}\right) \nabla_{\boldsymbol{V}} o_{i}^{(t)}=\sum_{t}\left(\nabla_{o^{(t)}} L\right) \boldsymbol{h}^{(t)^{\top}} \\ \nabla_{\boldsymbol{W}} &=\sum_{t} \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial h_{i}^{(t)}}\right) \nabla_{\boldsymbol{W}^{(t)}} h_{i}^{(t)} \\ &=\sum_{t} \operatorname{diag}\left(1-\left(\boldsymbol{h}^{(t)}\right)^{2}\right)\left(\nabla_{\boldsymbol{h}^{(t)}} L\right) \boldsymbol{h}^{(t-1)^{\top}} \\ \nabla_{U} L &=\sum_{t} \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial h_{i}^{(t)}}\right) \nabla_{\boldsymbol{U}^{(t)}} h_{i}^{(t)} \\ &=\sum_{t} \operatorname{diag}\left(1-\left(\boldsymbol{h}^{(t)}\right)^{2}\right)\left(\nabla_{\boldsymbol{h}^{(t)}} L\right) \boldsymbol{x}^{(t)^{\top}} \end{aligned}$∇c​L∇b​L∇V​L∇W​∇U​L​=t∑​(∂c∂o(t)​)⊤∇o(t)​L=t∑​∇o(t)​L=t∑​(∂b(t)∂h(t)​)⊤∇h(t)​L=t∑​diag(1−(h(t))2)∇h(t)​L=t∑​i∑​(∂oi(t)​∂L​)∇V​oi(t)​=t∑​(∇o(t)​L)h(t)⊤=t∑​i∑​(∂hi(t)​∂L​)∇W(t)​hi(t)​=t∑​diag(1−(h(t))2)(∇h(t)​L)h(t−1)⊤=t∑​i∑​(∂hi(t)​∂L​)∇U(t)​hi(t)​=t∑​diag(1−(h(t))2)(∇h(t)​L)x(t)⊤​

RNN确定序列长度方式

第一种是添加一个表示序列末端的特殊符号。在训练集中，我们将该符号作为序列的一个额外成员，即紧跟每个训练样本 x (τ) 之后。

第二种选择是在模型中引入一个额外的Bernoulli输出，表示在每个时间步决定继续或停止。相比向词汇表增加一个额外符号，这种方法更普遍，因为它适用于任何RNN。在这种方法中，sigmoid被训练为最大化正确预测的对数似然，即在每个时间步序列决定结束或继续。

第三种是将一个额外的输出添加到模型并预测整数 τ 本身。模型可以预测 τ 的值，然后使用 τ 步有价值的数据。这种方法需要在每个时间步的循环更新中增加一个额外输入，使得循环更新知道它是否是靠近所产生序列的末尾。

其他RNN结构

除了上面介绍的RNN结构，还有一些其他结构：

1， 每个时间步都产生一个输出，但是只有当前时刻的输出 o 与下个时刻的隐藏单元之间有连接的RNN：

这样的RNN没有最开始介绍的 RNN 那样强大，上图中的RNN被训练为将特定输出值放入 o 中，并且 o 是允许传播到未来的唯一信息。此处没有从 h 前向传播的直接连接。之前的 h 仅通过产生的预测间接地连接到当前。o 通常缺乏过去的重要信息，除非它非常高维且内容丰富。这使得该图中的RNN不那么强大，但是它更容易训练，因为每个时间步可以与其他时间步分离训练，允许训练期间更多的并行化。

2， 隐藏单元之间存在循环连接，但读取整个序列后只在最后一个时间步产生单个输出的RNN：

这样的网络可以用于概括序列，并产生一个向量 o 用于表示整个输入序列，然后可以对 o 进行进一步的处理。例如在翻译任务中，先输入原始输入的句子，得到句子的向量表示 o ，然后对 o 展开进一步的翻译任务。

3，包含上下文的RNN：

此RNN包含从前一个输出到当前状态的连接。这些连接允许RNN在给定 x 的序列后，对相同长度的 y 序列上的任意分布建模。

4，双向RNN

在许多应用中，我们要输出的 y (t) 的预测可能依赖于整个输入序列。例如，在语音识别中，当前声音作为音素的正确解释可能取决于未来几个音素，甚至可能取决于未来的几个词，因为词与附近的词之间的存在语义依赖。双向RNN结构如下：

隐藏状态变量 h 在时间上向前传播信息（向右），而隐藏状态变量 g 在时间上向后传播信息（向左）。因此在每个点 t，输出单元 o (t) 可以受益于输入 h (t) 中关于过去的相关信息以及输入 g (t) 中关于未来的相关信息。

5，编码—解码结构(序列到序列)的RNN

编码—解码结构的RNN支持将输入序列映射到不一定等长的输出序列，结构如下图所示：

这在许多场景中都有应用，如语音识别、机器翻译或问答，其中训练集的输入和输出序列的长度通常不相同。它由读取输入序列的编码器RNN以及生成输出序列的解码器RNN组成。编码器RNN的最终隐藏状态用于计算一般为固定大小的上下文向量 C，C 表示输入序列的语义概要信息并且作为解码器RNN的输入。

基于RNN的应用

RNN通常用于处理序列形式的输入数据，如文本，语音等。输出也可以是序列或者某个预测值。常见的应用如下：

1，序列数据的分析

例如情感分析，输入一句话的每个字的向量表示，输出其情感的预测标签。网络结构如下：

2，序列数据的转换

例如机器翻译，输入是某种语言的字序列，输出是翻译后的字序列。网络结构如下：

再如，词性标注，输入是字的向量表示，输出是每个字对应的词性标注信息，常见网络结构如下：

3，序列数据的生成

例如，图片描述生成，输入是一张图片的向量表示，输出图片的描述信息。网络结构如下：

RNN的不足

RNN很难解决长依赖问题，即经过许多个时间步的传播之后，梯度值倾向于0或者无穷大，这样的现象称之为梯度消失和梯度爆炸。

1，从隐藏变量h角度来看

为了简化说明，我们认为：
$\boldsymbol h^{(t)} = \boldsymbol W^T \boldsymbol h^{(t-1)}$h(t)=WTh(t−1)
根据递推关系，可以转换为：
$\boldsymbol h^{(t)} = (\boldsymbol W^t)^T \boldsymbol h^{(0)}$h(t)=(Wt)Th(0)
当$\boldsymbol W$W 符合下列形式的特征分解：
$\boldsymbol W = \boldsymbol Q \boldsymbol \Sigma \boldsymbol Q^T$W=QΣQT
其中$\boldsymbol Q$Q是正交矩阵。于是有：
$\boldsymbol h^{(t)} = \boldsymbol Q^T \boldsymbol \Sigma^t \boldsymbol Q \boldsymbol h^{(0)}$h(t)=QTΣtQh(0)
经过多个阶段的传播后，如果$ \boldsymbol \Sigma^t$中的特征值小于1，特征值将衰减到零。如果特征值大于1，经过$中的特征值小于1，特征值将衰减到零。如果特征值大于1，经过t$次相乘后，特征值将激增。任何不与最大特征向量对齐的$次相乘后，特征值将激增。任何不与最大特征向量对齐的\boldsymbol h^{(0)}$的部分将最终被丢弃，无法做到长期依赖。

2，从梯度传播角度来看

梯度的反向传播过程如下图所示：

不难得到：
$\frac{\partial J}{\partial y_0} = \frac{\partial J}{\partial h_3}\frac{\partial h_3}{\partial h_2} \frac{\partial h_2}{\partial h_1} \frac{\partial h_1}{\partial y_0}$∂y0​∂J​=∂h3​∂J​∂h2​∂h3​​∂h1​∂h2​​∂y0​∂h1​​
上面的式子是多个偏导数的累乘，如果每个偏导数的值都小于1，那么传播到 $t=0$t=0 时刻的梯度几乎等于0了，也就是梯度消失了。梯度消失意味着只有靠近输出的几层才真正起到学习的作用，无法通过加深网络层数来提升预测效果，这样RNN很难学习到输入序列中的长距离依赖关系。

反之，如果每个偏导数的值都大于1，那么传播到 $t=0$t=0 时刻的梯度被指数倍放大，也就是梯度爆炸了。可以通过梯度裁剪来缓解，即当梯度的范式大于某个给定值的时候，对梯度进行等比缩放。

为了能学习到更长的依赖关系，需要对RNN网络加以改进，下一篇文章提到的LSTM模型可以一定程度上得到改善。

参考文章：

《深度学习》

RNN详解

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