一、选择题
1. （2012浙江杭州3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【 】
A．内含 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm．则d=6﹣2=4。
∴两圆内切。故选B。
2.（2012浙江湖州3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是【 】
A．45° B．85° C．90° D．95°
【答案】B。
【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。
【分析】∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°。
∵∠C=50°，∴∠BAC=40°。
∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD=∠DBC=45°。∴∠CAD=∠DBC=45°。
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°。故选B。
3. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于【 】
A． 15° B． 20° C． 30° D． 70°
【答案】B。
【考点】切线的性质，等腰三角形的性质。
【分析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC。∴∠OBC=90°。
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°。
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°。故选B。
4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． 15πcm2 B． 30πcm2 C． 60πcm2 D． 3 cm2
【答案】B。
【考点】圆锥的计算。
【分析】直接根据圆锥的侧面积计算即可：这个圆锥的侧面积= cm2。故选B。
5. （2012浙江宁波3分）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是【 】
A．b= a B．b= C．b= D．b=
【答案】D。
【考点】圆锥的计算。
【分析】∵半圆的直径为a，∴半圆的弧长为 。
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则： ，解得：
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则由勾股定理，得：AC2+AB2=BC2，
即： ，整理得：b= 。故选D。
6. （2012浙江衢州3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则sin∠AOB的值是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值。
【分析】由点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB=2∠ACB=60°，然后由特殊角的三角函数值得：
sin∠AOB=sin60°= 。故选C。
7. （2012浙江衢州3分）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是【 】
A． cm B．3 cm C．4 cm D．4cm
【答案】C。
【考点】圆锥的计算，扇形的弧长，勾股定理。
【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高：
∵扇形的弧长= cm，圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，
∴这个圆锥形筒的高为 cm。故选C。
8. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法，可判断【 】
A． 甲、乙均正确 B． 甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A。
【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。
【分析】根据甲的思路，作出图形如下：
连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。∴OE=DE= OD。
又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE= OB。∴∠OBE=30°。
又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。
又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。
同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。
根据乙的思路，作图如下：
连接OB，BD。
∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。
又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。∴BM为∠OBD的平分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。
又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。
同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。
故选A。
9. （2012浙江绍兴4分）如图，扇形DOE的半径为3，边长为 的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE， 上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为【 】
A． B． C． D．
【答案】 D。
【考点】圆锥的计算，菱形的性质。
【分析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F。
∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，
又∵扇形DOE的半径为3，边长为 ，∴FO=BF=1.5。cos∠FOC= 。
∴∠FOC=30°。∴∠EOD=2×30°=60°。∴ 。
底面圆的周长为：2πr=π，解得：r= 。
∵圆锥母线为：3，∴此圆锥的高为： 。故选D。
10. （2012浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【 】
A． 50° B．60° C．65° D．70°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC= ∠AOC=65°。故选C。
11. （2012浙江温州4分）已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【 】
A. 13cm. B. 8cm C. 6cm D. 3cm
【答案】D。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8－5=3（cm）。故选D。
二、填空题
1. （2012浙江嘉兴、舟山5分）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 ▲ ．
【答案】24。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】连接OC，∵AM=18，BM=8，∴AB=26，OC=OB=13。∴OM=13﹣8=5。
在Rt△OCM中， 。
∵直径AB丄弦CD，∴CD=2CM=2×12=24。
2. （2012浙江丽水、金华4分）半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为 ▲ cm．
【答案】1。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，
∵两个圆内切，且其半径分别为3cm和4cm，∴两个圆的圆心距为4－3＝1（cm）。
3. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．
【答案】 。
【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1× 。
由垂径定理可知EF=2EH= 。
4. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ▲ mm．
【答案】8。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm。
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm。
在Rt△AOD中，∵ mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm。
5. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．
【答案】10。
【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。
【分析】如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧 于点G、H、I，连接OF。设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得 ，解得 。∴球的半径为x＋y=10（厘米）。
三、解答题
1. （2012浙江杭州12分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3 ，MN=2 ．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（ 是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
【答案】解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE。
又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。
又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。
（2）∵AE=3 ，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°= ，即EC=AEtan30°=3。
∵OB⊥MN，∴B为MN的中点。
又∵MN=2 ，∴MB= MN= 。
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB= ，
∴ 。
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°= ，∴BO= OC。
∴ 。
又∵OC+EC=OM=R，
∴ 。
整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5。
∴R=5。
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，
如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：
延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，
△FDE即为所求。
∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5 。
则C△EFD=5+10+5 =15+5 ，
由（2）可得C△COB=3+ ，
∴C△EFD：C△COB=（15+5 ）：（3+ ）=5：1。
【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。
（2）在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt△OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。
顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所求。
根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△FDE为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由（2）求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。
2. （2012浙江湖州10分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABED为矩形；
（2）若AB=4， ，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。
∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。
∴四边形ABED为矩形。 （2）解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。
∵DC=DA，∴点C在⊙D上。
∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。
∵ ，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。
由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。
∵k＞0，∴k= 。∴CF=2EC=2 。
【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。
【分析】（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。
（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。
3. （2012浙江丽水、金华8分）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
【答案】(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF。，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH。∴∠ODB＝∠DBH。
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD。∴∠OBD＝∠DBH。
∴BD平分∠ABH。．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4。
在Rt△OBG中， .
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理。
【分析】(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在Rt△OBG中利用勾股定理即可求解。
4. （2012浙江宁波8分）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为
直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA= ，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）连接OE。
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB。
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE=∠EBC。
∴∠OEB=∠EBC。∴OE∥BC 。
∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90° 。
∴AC是⊙O的切线。
（2）连接OF。
∵sinA= ，∴∠A=30° 。
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8。
∴AE=4 ，∠AOE=60°，∴AB=12。
∴BC= AB=6，AC=6 。∴CE=AC﹣AE=2 。
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形。
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2。∴∠EOF=60°。
∴S梯形OECF= （2+4）×2 =6 ， S扇形EOF= 。
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6 ﹣ 。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线。
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF－S扇形EOF求解即可。
4. （2012浙江衢州8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
【答案】（1）证明：连接OD。
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC
∴∠ODB=∠DBC。∴OD∥BC。
又∵∠C=90°，∴∠ADO=90°。
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线。
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。
∴ ，即 。
解得 ，即⊙O的半径r为 。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可。
（2）利用平行线知△AOD∽△ABC，即 ；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值。
5. （2012浙江温州10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。
（1）求证:AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧 所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOB =2∠DCB。
又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB。
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。∴∠DOB+∠B=90°。∴∠BDO=90°。∴OD⊥AB。
∴AB是⊙O的切线。
（2）如图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD=OE=BE= BO，∠BDO=90°，∴∠B=30°。∴∠DOB=60°。
∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC。
又∵∠DOB和∠DCB为弧 所对的圆心角和圆周角，∴∠DOB =2∠DCB。
∴∠DCB=30°。
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2。
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得： 。
【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理。
【分析】（1）连接OD，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线。
（2）过O作OM垂直于CD，根据垂径定理得到M为DC的中点，由BD垂直于OD，得到三角形BDO为直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，从而确定出
∠DOB=60°，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，可得出∠DOB=2∠DCB。可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的长求出OC的长，从而确定出OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。
本题另解：如图，过O作OM垂直于CD，连接ED，由垂径定理得到M为CD的中点，又O为EC的中点，得到OM为三角形EDC的中位线，利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半，由弦心距OM的长求出ED的长，再由BE=OE，得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由DE的长求出OB的长，再由OD及OB的长，利用勾股定理即可求出BD的长。
6. （2012浙江义乌8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
查看更多关于【数学】的文章
